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苏教版九年级数学上册知识点总结

苏教版九年级数学上册

(义务教育教科书)

直接开平方法

b²-4ac根的判别式

数学活动 矩形绿地中的花圃设计

同心圆 等圆

直尺和圆规作三角形的外接圆

*判定正多边形的条件

数学活动 图形的密铺

第3章 数据的集中趋势和离散程度

数学活动 估测时间

第4章 等可能条件下的概率

数学活动 调查"小概率事件"

课题学习 收集数据 分析数据 探索规律

全册教案

1.1《一元二次方程》

教学目标：1、正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；

2、知道一元二次方程的一般形式和各项及系数，常数项。

教学重点：通过实际问题情境，用建模思想列出方程，体会一元二次方程的定义及意义。

教学难点：理解并会用一元二次方程一般形式中这一条件

教学过程：

一、情境创设：

问题1：正方形的面积是2，求它的边长。

问题2：如图矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花圃的面积是24，求花圃的长和宽.                                 

问题3：如图梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m,如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离.    

二、自学：观察归纳

观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学的一元一次方程有什么异同？

一元二次方程的概念：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫一元二次方程。

注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑：

（1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程；

   （4）有的方程要整理后才能判断是否是一元二次方程。

三、互助探究：

1、一元二次方程的一般形式

任何一个关于的一元二次方程都可以化成是常数）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中分别叫_________、________和______，分别叫做_________和_________。

注意：（1）二次项系数；（2）方程化为一般形式后才能确定二次项、一次项、常数项。

思考：（1）当时，方程的形式为__________；

 （2）当时，方程的形式为__________。

       它们是一元二次方程吗？

2、例题精讲

例1、已知方程。

（1）当m为何值时，此方程为一元一次方程；（2）当m为何值时，此方程为一元二次方程。

例2把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项

      （2）      （3）

例3、方程的一个解为1，求a的值.

延伸：如果非零实数、、满足，则关于x的一元二次方程必有一根________。

四、练习巩固：

1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项

（1）4     (2)   （3）

2、一元二次方程有一个解为0，试求的解。

五、小结思考：

六、教学反思：

1.2 一元二次方程的解法

教学目标

1、了解形如（x＋m）²= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法

2、会用直接开平方法解一元二次方程

教学重点：会用直接开平方法解一元二次方程

教学难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系

教学过程

一、情境引入：

1. 我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x²=a，则x叫做a的平方根。记作x=，即x=或x=。

如：9的平方根是±3，的平方根是

平方根有下列性质：

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

(2)零的平方根是零；     

(3)负数没有平方根。

2如何解方程（1）x²=4，（2）x²-2=0呢?

二、探究学习：

1．尝试：

（1）根据平方根的意义， x是4的平方根，∴x＝±2

即此一元二次方程的解（或根）为：x₁=2，x₂ =－2

（2）移项，得x²=2

根据平方根的意义， x就是2的平方根，∴x=

即此一元二次方程的解（或根）为：x₁=，x₂ =

2．概括总结．

什么叫直接开平方法？

像解x²=4，x²-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x²=a（a≥0）或（x+h）²=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解

3.概念巩固：

已知一元二次方程mx²+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（      ）

A.n=0    B.m、n异号    C.n是m的整数倍      D.m、n同号

4.典型例题：

例1解下列方程

（1）x²-1.21=0         （2）4x²-1=0

解：（1）移向，得x²=1.21          （2）移向，得4x²=1

∵x是1.21的平方根            两边都除以4，得x²= 

∴x=±1.1                       ∵x是的平方根

即  x₁=1.1，x₂=-1.1                ∴x=

即x₁=，x₂=

例2解下列方程：

⑴  （x＋1）²= 2                ⑵  （x－1）²－4 = 0

⑶  12（3－2x）²－3 = 0

分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。

解：（1）∵x+1是2的平方根

∴x+1=

即x₁=-1+，x₂=-1-

（2）移项，得（x-1）²=4

∵x-1是4的平方根

∴x-1=±2

即x₁=3，x₂=-1

(3)移项，得12（3-2x）²=3

两边都除以12，得（3-2x）²=0.25

∵3-2x是0.25的平方根

∴3-2x=±0.5

即3-2x=0.5,3-2x=-0.5

∴x₁=，x₂=

例3解方程(2x－1)²=(x－2)²      

分析：如果把2x-1看成是（x-2）²的平方根，同样可以用直接开平方法求解

解：2x-1=

即2x-1=±（x-2）

∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2

即x₁=-1，x₂=1

5.探究：（1）能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有（x＋h）²= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

（2）用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解

(3)任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明

6.巩固练习：

（1）下列解方程的过程中，正确的是（  ）

①x²=-2,解方程，得x=±           

②(x-2)²=4,解方程，得x-2=2,x=4

③4(x-1)²=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x₁=;x₂=

④(2x+3)²=25,解方程，得2x+3=±5, x₁= 1;x₂=-4

（2）解下列方程：

        ①x²=16  ②x²-0.81=0   ③9x²=4  ④y²-144=0

（3）解下列方程：

①（x-1）²=4         ②（x+2）²=3

③（x-4）²-25=0      ④（2x+3）²-5=0

⑤（2x-1）²=（3-x）²

（4）一个球的表面积是100cm²，求这个球的半径。（球的表面积s=4R²，其中R是球半径）

三、归纳总结：

1、不等关系在日常生活中普遍存在.

2、用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.

3、列不等式表示不等关系.

1.3 一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

【知识与技能】

学生知道一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。

【过程与方法】

学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。

【情感态度价值观】

通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养观察分析和综合、判断的能力。激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。

二、教学重难点

【教学重点】

一元二次方程根与系数的关系的证明。

【教学难点】

发现一元二次方程根与系数的关系。

三、教学过程

(一)引入新课

提出问题：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系呢?

师生活动：复习回顾一元二次方程的一般形式以及求根公式。

(二)探索新知

四、板书设计

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